MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+ax2+bxf(x) = x^3 + ax^2 + bx. Determinați valorile parametrilor a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} pentru care ff este crescătoare pe R\mathbb{R} și are un punct de inflexiune în x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=3x2+2ax+bf'(x) = 3x^2 + 2ax + b. Pentru ca ff să fie crescătoare pe R\mathbb{R}, trebuie f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, ceea ce impune discriminantul Δ=(2a)2−4⋅3⋅b≤0\Delta = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot b \leq 0, adică 4a2−12b≤0⇒a2≤3b4a^2 - 12b \leq 0 \Rightarrow a^2 \leq 3b.
23 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=6x+2af''(x) = 6x + 2a. Condiția pentru punct de inflexiune în x=1x=1 este f′′(1)=0f''(1) = 0, deci 6⋅1+2a=0⇒a=−36 \cdot 1 + 2a = 0 \Rightarrow a = -3.
33 puncte
Înlocuiți a=−3a = -3 în condiția de monotonie: (−3)2≤3b⇒9≤3b⇒b≥3(-3)^2 \leq 3b \Rightarrow 9 \leq 3b \Rightarrow b \geq 3. Verificați schimbarea de semn a lui f′′f'' în jurul lui x=1x=1: f′′(x)=6x−6=6(x−1)f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1), care schimbă semnul la x=1x=1, deci este punct de inflexiune. Astfel, soluția este a=−3a = -3 și b≥3b \geq 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.