MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff și determinați punctele de extrem local, dacă există. Apoi, folosind proprietățile găsite, demonstrați că pentru orice a,b>0a, b > 0, avem aln⁡a+bln⁡b≥(a+b)ln⁡(a+b2)a \ln a + b \ln b \geq (a+b) \ln\left(\frac{a+b}{2}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=ln⁡xf'(x) = \ln x. Explicație: derivata lui xln⁡xx \ln x este ln⁡x+1\ln x + 1, iar derivata lui −x-x este −1-1, deci f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡xf'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x.
22 puncte
Studiați semnul derivatei pentru a determina monotonia: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x>1x > 1, f′(x)<0f'(x) < 0 pentru 0<x<10 < x < 1, și f′(1)=0f'(1)=0. Astfel, ff este descrescătoare pe (0,1](0,1] și crescătoare pe [1,∞)[1,\infty).
32 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}. Studiați convexitatea: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru toate x>0x > 0, deci ff este convexă pe (0,∞)(0,\infty).
42 puncte
Determinați punctele de extrem: f′(1)=0f'(1)=0 și f′′(1)=1>0f''(1)=1>0, deci x=1x=1 este punct de minim local, cu f(1)=−1f(1) = -1.
52 puncte
Demonstrați inegalitatea: folosind convexitatea lui ff, pentru a,b>0a,b>0, avem f(a+b2)≤f(a)+f(b)2f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}. Substituind f(x)f(x), obținem a+b2ln⁡(a+b2)−a+b2≤aln⁡a−a+bln⁡b−b2\frac{a+b}{2} \ln\left(\frac{a+b}{2}\right) - \frac{a+b}{2} \leq \frac{a \ln a - a + b \ln b - b}{2}. Simplificând, a+b2ln⁡(a+b2)≤aln⁡a+bln⁡b2−a+b2+a+b2\frac{a+b}{2} \ln\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{a \ln a + b \ln b}{2} - \frac{a+b}{2} + \frac{a+b}{2}, care conduce la aln⁡a+bln⁡b≥(a+b)ln⁡(a+b2)a \ln a + b \ln b \geq (a+b) \ln\left(\frac{a+b}{2}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.