MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAlgebră și Calcule cu Numere RealeTrigonometrie
Se consideră vectorii a⃗=3i⃗+4j⃗\vec{a} = 3\vec{i} + 4\vec{j} și b⃗=xi⃗+yj⃗\vec{b} = x\vec{i} + y\vec{j}. Știind că ∣a⃗∣=5|\vec{a}| = 5, a⃗⋅b⃗=10\vec{a} \cdot \vec{b} = 10 și unghiul dintre a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} are cosinusul egal cu 23\frac{2}{3}, determinați coordonatele x și y ale vectorului b⃗\vec{b}. Verificați dacă vectorii a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} sunt liniar dependenți.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem ecuația produsului scalar: a⃗⋅b⃗=3x+4y=10\vec{a} \cdot \vec{b} = 3x + 4y = 10.
23 puncte
Din formula cosinusului, cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣=105∣b⃗∣=23\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{10}{5 |\vec{b}|} = \frac{2}{3}, de unde ∣b⃗∣=3|\vec{b}| = 3.
33 puncte
Avem ∣b⃗∣=x2+y2=3|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2} = 3, deci x2+y2=9x^2 + y^2 = 9. Rezolvăm sistemul {3x+4y=10x2+y2=9\begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ x^2 + y^2 = 9 \end{cases}. Soluțiile sunt (x,y)=(2,1)(x,y) = (2,1) sau (x,y)=(185,−45)(x,y) = \left(\frac{18}{5}, -\frac{4}{5}\right).
42 puncte
Pentru fiecare soluție, verificăm dacă a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} sunt liniar dependenți. Pentru (2,1)(2,1), b⃗=2i⃗+j⃗\vec{b} = 2\vec{i} + \vec{j}, care nu este multiplu de a⃗\vec{a}, deci sunt liniar independenți. Pentru (185,−45)\left(\frac{18}{5}, -\frac{4}{5}\right), b⃗=185i⃗−45j⃗\vec{b} = \frac{18}{5}\vec{i} - \frac{4}{5}\vec{j}, și nu este multiplu de a⃗\vec{a}, deci similar, sunt liniar independenți.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.