MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O cutie fără capac are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul cutiei este de 32 dm³. Determinați dimensiunile cutiei astfel încât suprafața totală a materialului folosit să fie minimă. Utilizați derivatele pentru a studia monotonia și convexitatea funcției care reprezintă suprafața în funcție de latura bazei.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Fie xx latura bazei (în dm) și hh înălțimea (în dm). Volumul: V=x2h=32V = x^2 h = 32, deci h=32x2h = \frac{32}{x^2}. Suprafața totală (fără capac): S=x2+4xh=x2+4x⋅32x2=x2+128xS = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = x^2 + \frac{128}{x}, pentru x>0x>0.
23 puncte
Funcția S(x)=x2+128xS(x) = x^2 + \frac{128}{x}. Calculați derivata întâi: S′(x)=2x−128x2S'(x) = 2x - \frac{128}{x^2}. Rezolvați S′(x)=0S'(x)=0: 2x−128x2=0⇒2x3=128⇒x3=64⇒x=42x - \frac{128}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x^3 = 128 \Rightarrow x^3 = 64 \Rightarrow x=4.
33 puncte
Studiați semnul lui S′(x)S'(x): pentru x∈(0,4)x \in (0,4), S′(x)<0S'(x)<0 deci SS descrescătoare; pentru x∈(4,∞)x \in (4,\infty), S′(x)>0S'(x)>0 deci SS crescătoare. Astfel, x=4x=4 este punct de minim global.
42 puncte
Calculați derivata a doua: S′′(x)=2+256x3S''(x) = 2 + \frac{256}{x^3}. Pentru x>0x>0, S′′(x)>0S''(x)>0, deci SS este convexă pe domeniu, confirmând că punctul critic x=4x=4 este de minim. Pentru x=4x=4, h=3242=2h = \frac{32}{4^2} = 2. Dimensiunile cutiei: latura bazei 4 dm, înălțimea 2 dm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.