MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x2+1)−xf(x) = \ln(x^2 + 1) - x. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați punctele de extrem local ale funcției. c) Determinați punctele de inflexiune ale funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculul derivatei întâi f′(x)=2xx2+1−1f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} - 1; rezolvarea ecuației f′(x)=0f'(x)=0 conduce la 2x−(x2+1)=02x - (x^2+1) = 0 adică x2−2x+1=0x^2 - 2x + 1 = 0, deci x=1x=1; studiul semnului lui f′(x)f'(x): pentru x<1x<1, f′(x)<0f'(x)<0 (funcția este descrescătoare), pentru x>1x>1, f′(x)>0f'(x)>0 (funcția este crescătoare).
23 puncte
Calculul derivatei a doua f′′(x)=2(x2+1)−2x⋅2x(x2+1)2=2−2x2(x2+1)2=2(1−x2)(x2+1)2f''(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}; rezolvarea f′′(x)=0f''(x)=0 dă x=−1x=-1 și x=1x=1; studiul semnului: f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x∈(−1,1)x \in (-1,1) (funcția este convexă), f′′(x)<0f''(x)<0 pentru x∈(−∞,−1)∪(1,∞)x \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty) (funcția este concavă).
32 puncte
Punctul critic x=1x=1 este minim local, f(1)=ln⁡(2)−1f(1)=\ln(2)-1.
42 puncte
Punctele de inflexiune sunt x=−1x=-1 și x=1x=1, unde f′′(x)f''(x) își schimbă semnul; f(−1)=ln⁡(2)+1f(-1)=\ln(2)+1 și f(1)=ln⁡(2)−1f(1)=\ln(2)-1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.