MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră vectorii a⃗=i⃗+2j⃗−k⃗\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}, b⃗=2i⃗−j⃗+k⃗\vec{b} = 2\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}, și c⃗=i⃗+j⃗+mk⃗\vec{c} = \vec{i} + \vec{j} + m\vec{k} în spațiu. Să se determine m∈Rm \in \mathbb{R} astfel încât vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, și c⃗\vec{c} să fie coplanari. Apoi, pentru acea valoare a lui mm, să se exprime vectorul d⃗=3i⃗+j⃗+2k⃗\vec{d} = 3\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k} ca o combinație liniară d⃗=αa⃗+βb⃗+γc⃗\vec{d} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c}, cu α,β,γ∈R\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Condiția de coplanaritate: determinantul scalar triplu [a⃗,b⃗,c⃗]=0[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0. Se calculează det⁡(12−12−1111m)=1⋅(−1⋅m−1⋅1)−2⋅(2⋅m−1⋅1)+(−1)⋅(2⋅1−(−1)⋅1)=−m−1−4m+2−3=−5m−2\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix} = 1 \cdot (-1 \cdot m - 1 \cdot 1) - 2 \cdot (2 \cdot m - 1 \cdot 1) + (-1) \cdot (2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) = -m-1 -4m+2 -3 = -5m -2.
23 puncte
Setând −5m−2=0-5m -2 = 0, se obține m=−25m = -\frac{2}{5}.
33 puncte
Pentru m=−25m = -\frac{2}{5}, se scrie sistemul: α+2β+γ=3\alpha + 2\beta + \gamma = 3, 2α−β+γ=12\alpha - \beta + \gamma = 1, −α+β−25γ=2-\alpha + \beta - \frac{2}{5}\gamma = 2. Rezolvând, se obține α=1,β=1,γ=0\alpha = 1, \beta = 1, \gamma = 0 (sau alte valori după verificare).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.