MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un producător estimează că profitul obținut din vânzarea a xx unități dintr-un produs este dat de funcția P(x)=−x3+12x2+60x−100P(x) = -x^3 + 12x^2 + 60x - 100, pentru x≥0x \geq 0. Se cere: a) Să se studieze monotonia funcției profit pe domeniul de definiție. b) Să se determine punctele de extrem local și să se arate că funcția este concavă pe un anumit interval. c) Să se afle numărul de unități care maximizează profitul.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul derivatei întâi: P′(x)=−3x2+24x+60P'(x) = -3x^2 + 24x + 60. Rezolvarea ecuației P′(x)=0P'(x)=0 pentru x≥0x \geq 0: −3x2+24x+60=0⇒x2−8x−20=0-3x^2+24x+60=0 \Rightarrow x^2-8x-20=0, cu soluțiile x=10x=10 și x=−2x=-2 (nu convine). Studiul semnului lui P′P': P′(x)>0P'(x) > 0 pentru x∈[0,10)x \in [0,10), deci PP strict crescătoare pe [0,10][0,10]; P′(x)<0P'(x) < 0 pentru x>10x>10, deci strict descrescătoare pe [10,∞)[10, \infty).
24 puncte
Calculul derivatei a doua: P′′(x)=−6x+24P''(x) = -6x+24. Rezolvarea P′′(x)=0P''(x)=0: x=4x=4. P′′(x)>0P''(x) > 0 pentru x<4x < 4, deci PP convexă pe [0,4)[0,4); P′′(x)<0P''(x) < 0 pentru x>4x > 4, deci concavă pe (4,∞)(4, \infty). Punctul x=4x=4 este punct de inflexiune. Pentru extrem: x=10x=10, P′′(10)=−36<0P''(10) = -36 < 0, deci maxim local.
33 puncte
Din studiul monotoniei, funcția este crescătoare pe [0,10][0,10] și descrescătoare pentru x>10x>10, deci profitul este maxim la x=10x=10. Răspuns: 10 unități maximizează profitul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.