MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Considerăm funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1xf(x) = \frac{x^2 + 1}{x}. Studiați monotonie și convexitatea funcției și determinați punctul de minim local. Apoi, folosind proprietățile funcției, rezolvați inecuația f(x)≥2f(x) \geq 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=2x⋅x−(x2+1)x2=2x2−x2−1x2=x2−1x2f'(x) = \frac{2x \cdot x - (x^2+1)}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}. Găsim punctele critice: f′(x)=0⇒x2−1=0⇒x=±1f'(x)=0 \Rightarrow x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm1.
22 puncte
Studiem semnul derivatei: pentru x<−1x<-1, f′(x)>0f'(x)>0; pentru −1<x<0-1<x<0, f′(x)<0f'(x)<0; pentru 0<x<10<x<1, f′(x)<0f'(x)<0; pentru x>1x>1, f′(x)>0f'(x)>0. Deci ff este crescătoare pe (−∞,−1](-\infty,-1] și [1,∞)[1,\infty), descrescătoare pe [−1,0)[-1,0) și (0,1](0,1].
33 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=2x⋅x2−(x2−1)⋅2xx4=2x3−2x3+2xx4=2x3f''(x) = \frac{2x \cdot x^2 - (x^2-1) \cdot 2x}{x^4} = \frac{2x^3 - 2x^3 + 2x}{x^4} = \frac{2}{x^3}. Studiem semnul: f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x>0x>0, deci convexă pe (0,∞)(0,\infty); f′′(x)<0f''(x)<0 pentru x<0x<0, deci concavă pe (−∞,0)(-\infty,0).
41 punct
Punctul de minim local este la x=1x=1, deoarece derivata își schimbă semnul din negativ în pozitiv, și f(1)=2f(1)=2.
52 puncte
Din monotonie, f(x)≥2f(x) \geq 2 pentru x≤−1x \leq -1 sau x≥1x \geq 1. Dar din domeniu x≠0x \neq 0, deci soluția: x∈(−∞,−1]∪[1,∞)x \in (-\infty,-1] \cup [1,\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.