MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Considerați funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determinați intervalele de monotonie (creștere/descreștere) și de convexitate (convexă/concavă) ale funcției ff. Apoi, aflați punctele de extrem local (minime sau maxime) și punctele de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x și derivata a doua f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6.
23 puncte
Determinati intervalele de monotonie: rezolvând f′(x)=0f'(x) = 0, obținem x=0x=0 și x=2x=2. Studiați semnul lui f′(x)f'(x): pentru x<0x < 0, f′(x)>0f'(x) > 0 (f crescătoare); pentru 0<x<20 < x < 2, f′(x)<0f'(x) < 0 (f descrescătoare); pentru x>2x > 2, f′(x)>0f'(x) > 0 (f crescătoare).
33 puncte
Determinati intervalele de convexitate: rezolvând f′′(x)=0f''(x) = 0, obținem x=1x=1. Studiați semnul lui f′′(x)f''(x): pentru x<1x < 1, f′′(x)<0f''(x) < 0 (f concavă); pentru x>1x > 1, f′′(x)>0f''(x) > 0 (f convexă).
42 puncte
Punctele de extrem: la x=0x=0, f′(0)=0f'(0)=0 și f′′(0)=−6<0f''(0) = -6 < 0, deci maxim local în (0,4)(0,4); la x=2x=2, f′(2)=0f'(2)=0 și f′′(2)=6>0f''(2) = 6 > 0, deci minim local în (2,0)(2,0). Punctul de inflexiune: la x=1x=1, f′′(1)=0f''(1)=0 și semnul se schimbă, deci (1,2)(1,2) este punct de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.