MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați valorile lui a∈Ra \in \mathbb{R} pentru care ecuația f(x)=af(x) = a are exact două soluții în intervalul (0,∞)(0, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=ln⁡xf'(x) = \ln x și punctele critice: f′(x)=0⇒ln⁡x=0⇒x=1f'(x) = 0 \Rightarrow \ln x = 0 \Rightarrow x = 1.
22 puncte
Studiați semnul derivatei întâi: pentru x∈(0,1)x \in (0,1), f′(x)<0f'(x) < 0, ff descrescătoare; pentru x∈(1,∞)x \in (1,\infty), f′(x)>0f'(x) > 0, ff crescătoare.
33 puncte
Calculați derivata a doua f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}; pentru x>0x > 0, f′′(x)>0f''(x) > 0, deci ff convexă pe (0,∞)(0,\infty).
42 puncte
Folosiți monotonia și convexitatea: ff are minim la x=1x=1, f(1)=−1f(1) = -1; limite: lim⁡x→0+f(x)=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0, lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty; pentru a>−1a > -1, ecuația f(x)=af(x) = a are exact două soluții (una în (0,1)(0,1) și alta în (1,∞)(1,\infty)); pentru a=−1a = -1, o soluție; pentru a<−1a < -1, niciuna.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.