MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAlgebră și Calcule cu Numere RealeGeometrie Analitică
Fie vectorii a⃗=2i⃗−j⃗+k⃗\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}, b⃗=i⃗+3j⃗−2k⃗\vec{b} = \vec{i} + 3\vec{j} - 2\vec{k}, și c⃗=αi⃗+βj⃗+γk⃗\vec{c} = \alpha \vec{i} + \beta \vec{j} + \gamma \vec{k}. Determinați α,β,γ∈R\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} astfel încât a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} să fie coplanari și c⃗⋅a⃗=0\vec{c} \cdot \vec{a} = 0. Apoi, pentru aceste valori, calculați aria triunghiului având ca laturi vectorii a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Condiția de coplanaritate: a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} sunt coplanari dacă determinantul matricii coordonatelor este zero: ∣21α−13β1−2γ∣=0\begin{vmatrix} 2 & 1 & \alpha \\ -1 & 3 & \beta \\ 1 & -2 & \gamma \end{vmatrix} = 0.
22 puncte
Condiția de perpendicularitate: c⃗⋅a⃗=2α−β+γ=0\vec{c} \cdot \vec{a} = 2\alpha - \beta + \gamma = 0.
33 puncte
Calculăm determinantul: 2(3γ−(−2)β)−1((−1)γ−1β)+α((−1)(−2)−3⋅1)=6γ+4β+γ+β−α=7γ+5β−α=02(3\gamma - (-2)\beta) - 1((-1)\gamma - 1\beta) + \alpha((-1)(-2) - 3\cdot1) = 6\gamma + 4\beta + \gamma + \beta - \alpha = 7\gamma + 5\beta - \alpha = 0. Rezolvăm sistemul: 7γ+5β−α=07\gamma + 5\beta - \alpha = 0 și 2α−β+γ=02\alpha - \beta + \gamma = 0. Din a doua, β=2α+γ\beta = 2\alpha + \gamma. Substituim în prima: 7γ+5(2α+γ)−α=0⇒12γ+9α=0⇒4γ+3α=07\gamma + 5(2\alpha + \gamma) - \alpha = 0 \Rightarrow 12\gamma + 9\alpha = 0 \Rightarrow 4\gamma + 3\alpha = 0, deci γ=−34α\gamma = -\frac{3}{4}\alpha. Atunci β=2α−34α=54α\beta = 2\alpha - \frac{3}{4}\alpha = \frac{5}{4}\alpha. Soluția: c⃗=αi⃗+54αj⃗−34αk⃗\vec{c} = \alpha \vec{i} + \frac{5}{4}\alpha \vec{j} - \frac{3}{4}\alpha \vec{k}, cu α∈R\alpha \in \mathbb{R}.
43 puncte
Calculăm aria triunghiului: A=12∣∣a⃗×b⃗∣∣A = \frac{1}{2} ||\vec{a} \times \vec{b}||. Produsul vectorial: a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗2−1113−2∣=i⃗(2−3)−j⃗(−4−1)+k⃗(6+1)=−i⃗+5j⃗+7k⃗\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 - 3) - \vec{j}(-4 - 1) + \vec{k}(6 + 1) = -\vec{i} + 5\vec{j} + 7\vec{k}. Norma: ∣∣a⃗×b⃗∣∣=(−1)2+52+72=75=53||\vec{a} \times \vec{b}|| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 7^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}. Aria: A=12⋅53=532A = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.