MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡x−x+1f(x) = \ln x - x + 1. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, ln⁡x≤x−1\ln x \leq x - 1, cu egalitate doar pentru x=1x=1. c) Folosind inegalitatea de la b), arătați că funcția g(x)=ex−x−1g(x) = e^x - x - 1 are minimul 0 atins în x=0x=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=1x−1f'(x) = \frac{1}{x} - 1. Rezolvăm f′(x)=0f'(x)=0 și obținem x=1x=1. Studiem semnul: pentru x∈(0,1)x \in (0,1), f′(x)>0f'(x) > 0 deci ff crescătoare; pentru x∈(1,∞)x \in (1,\infty), f′(x)<0f'(x) < 0 deci ff descrescătoare. Calculăm derivata a doua: f′′(x)=−1x2<0f''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 pentru orice x>0x>0, deci funcția este concavă pe (0,∞)(0,\infty).
23 puncte
Din studiul monotoniciei, f(x)f(x) are maximul în x=1x=1 cu f(1)=0f(1)=0, deci f(x)≤0f(x) \leq 0 pentru orice x>0x>0, adică ln⁡x−x+1≤0\ln x - x + 1 \leq 0, de unde ln⁡x≤x−1\ln x \leq x - 1, cu egalitate pentru x=1x=1.
32 puncte
Considerăm funcția g(x)=ex−x−1g(x) = e^x - x - 1. Din inegalitatea ln⁡x≤x−1\ln x \leq x-1, luăm x=eyx = e^y și obținem y≤ey−1y \leq e^y - 1, adică ey≥y+1e^y \geq y+1, deci ey−y−1≥0e^y - y - 1 \geq 0 pentru orice y∈Ry \in \mathbb{R}. Așadar, g(x)≥0g(x) \geq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, cu egalitate pentru x=0x=0.
42 puncte
Verificăm că g(0)=e0−0−1=0g(0)=e^0 - 0 - 1 = 0, iar din inegalitate, aceasta este valoarea minimă a funcției gg.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.