MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorPolinoame
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=13x3−ax2+4x+1f(x) = \frac{1}{3}x^3 - ax^2 + 4x + 1, unde aa este un parametru real. a) Determinați aa astfel încât ff să fie crescătoare pe R\mathbb{R}. b) Pentru a=2a = 2, studiați convexitatea funcției și găsiți punctele de inflexiune. c) Calculați valoarea maximă a funcției pe intervalul [0,3][0, 3] pentru a=2a = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=x2−2ax+4f'(x) = x^2 - 2ax + 4. Pentru ca ff să fie crescătoare pe R\mathbb{R}, trebuie f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Aceasta implică Δ≤0\Delta \leq 0, adică 4a2−16≤04a^2 - 16 \leq 0, deci a∈[−2,2]a \in [-2, 2].
23 puncte
Pentru a=2a = 2, f(x)=13x3−2x2+4x+1f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x + 1. Calculați derivata a doua f′′(x)=2x−4f''(x) = 2x - 4. Studiați semnul: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>2x > 2, deci funcția este convexă pe (2,∞)(2, \infty); f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<2x < 2, deci concavă pe (−∞,2)(-\infty, 2). Punct de inflexiune la x=2x = 2, deoarece f′′(x)f''(x) își schimbă semnul.
33 puncte
Pentru a=2a = 2 pe [0,3][0, 3], f′(x)=x2−4x+4=(x−2)2≥0f'(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0, deci funcția este crescătoare. Valoarea maximă este la x=3x = 3: f(3)=13⋅27−2⋅9+4⋅3+1=9−18+12+1=4f(3) = \frac{1}{3} \cdot 27 - 2 \cdot 9 + 4 \cdot 3 + 1 = 9 - 18 + 12 + 1 = 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.