MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorTrigonometrie
Considerăm funcția f:[0,π]→Rf: [0, \pi] \to \mathbb{R}, f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos x. Să se studieze monotonia și convexitatea funcției ff pe intervalul [0,π][0, \pi]. Să se determine valoarea maximă a funcției și punctele de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=cos⁡x−sin⁡xf'(x) = \cos x - \sin x.
22 puncte
Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0 pe [0,π][0, \pi], obținând x=π4x = \frac{\pi}{4}, și se studiază semnul: pe [0,π4)[0, \frac{\pi}{4}), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este crescătoare; pe (π4,π](\frac{\pi}{4}, \pi], f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este descrescătoare.
31 punct
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=−sin⁡x−cos⁡x=−(sin⁡x+cos⁡x)=−f(x)f''(x) = -\sin x - \cos x = -(\sin x + \cos x) = -f(x).
42 puncte
Se determină semnul derivatei a doua: f′′(x)>0f''(x) > 0 când f(x)<0f(x) < 0, adică pentru x∈(3π4,π]x \in (\frac{3\pi}{4}, \pi], deci ff este convexă; f′′(x)<0f''(x) < 0 când f(x)>0f(x) > 0, adică pentru x∈[0,3π4)x \in [0, \frac{3\pi}{4}), deci ff este concavă. În x=3π4x = \frac{3\pi}{4}, f(x)=0f(x)=0, deci f′′(x)=0f''(x)=0, punct de inflexiune.
53 puncte
Maximul funcției este atins în x=π4x = \frac{\pi}{4}, unde f(π4)=2f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}. Punctul de inflexiune este x=3π4x = \frac{3\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.