MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O firmă produce cutii cilindrice cu volum fix de V=1000 cm3V = 1000 \, \text{cm}^3. Determinați dimensiunile razei rr și înălțimii hh ale cilindrului astfel încât suprafața totală să fie minimă. Studiați monotonia și convexitatea funcției suprafaței în raport cu raza rr.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Din volumul cilindrului V=πr2hV = \pi r^2 h, exprimați h=1000πr2h = \frac{1000}{\pi r^2}. Scrieți funcția suprafață totală S(r)=2πr2+2πrhS(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h și obțineți S(r)=2πr2+2000rS(r) = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r} pentru r>0r > 0.
23 puncte
Calculați derivata S′(r)=4πr−2000r2S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} și rezolvați S′(r)=0S'(r) = 0, găsind punctul critic r0=500π3r_0 = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}.
32 puncte
Studiați semnul lui S′(r)S'(r): pentru r∈(0,r0)r \in (0, r_0), S′(r)<0S'(r) < 0, deci SS este descrescătoare; pentru r∈(r0,∞)r \in (r_0, \infty), S′(r)>0S'(r) > 0, deci SS este crescătoare; astfel SS are minim la r0r_0, cu h=1000πr02h = \frac{1000}{\pi r_0^2}.
42 puncte
Calculați derivata a doua S′′(r)=4π+4000r3S''(r) = 4\pi + \frac{4000}{r^3}; pentru r>0r > 0, S′′(r)>0S''(r) > 0, deci SS este convexă pe domeniul său.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.