MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorPolinoame
Fie funcția f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, cu a≠0a \neq 0. Știind că graficul funcției trece prin punctele (0,0)(0,0) și (1,2)(1,2), are un punct de inflexiune în x=1x=1, iar tangenta la grafic în punctul de inflexiune este orizontală, determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem condițiile din enunț: f(0)=0f(0)=0, f(1)=2f(1)=2, f′(1)=0f'(1)=0, f′′(1)=0f''(1)=0.
23 puncte
Calculăm derivatele: f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x) = 3ax^2 + 2bx + c, f′′(x)=6ax+2bf''(x) = 6ax + 2b.
33 puncte
Din condiții obținem sistemul: f(0)=0⇒d=0f(0)=0 \Rightarrow d=0; f(1)=2⇒a+b+c+d=2f(1)=2 \Rightarrow a + b + c + d = 2; f′(1)=0⇒3a+2b+c=0f'(1)=0 \Rightarrow 3a + 2b + c = 0; f′′(1)=0⇒6a+2b=0f''(1)=0 \Rightarrow 6a + 2b = 0.
42 puncte
Rezolvăm sistemul: din 6a+2b=06a + 2b = 0 avem b=−3ab = -3a. Substituim în celelalte ecuații și obținem a=1,b=−3,c=3,d=0a=1, b=-3, c=3, d=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.