MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff, determinând intervalele de monotonie, punctele de extrem și punctele de inflexiune. Utilizând aceste proprietăți, demonstrați că ecuația f(x)=0f(x)=0 are exact o rădăcină reală.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x și derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6.
23 puncte
Rezolvați f′(x)=0f'(x)=0: x=0x=0 și x=2x=2. Studiați semnul lui f′(x)f'(x) pe intervalele (−∞,0)(-\infty,0), (0,2)(0,2), (2,∞)(2,\infty) și deduceți monotonie: ff este crescătoare pe (−∞,0](-\infty,0], descrescătoare pe [0,2][0,2], crescătoare pe [2,∞)[2,\infty); puncte de extrem: maxim la x=0x=0 cu f(0)=4f(0)=4, minim la x=2x=2 cu f(2)=0f(2)=0.
32 puncte
Rezolvați f′′(x)=0f''(x)=0: x=1x=1. Studiați semnul lui f′′(x)f''(x): negativ pentru x<1x<1 (concavă), pozitiv pentru x>1x>1 (convexă); punct de inflexiune la x=1x=1 cu f(1)=2f(1)=2.
43 puncte
Folosiți monotonia: f(0)=4f(0)=4, f(2)=0f(2)=0. Pe (−∞,0](-\infty,0], ff crescătoare de la −∞-\infty la 4, deci f(x)≠0f(x) \neq 0. Pe [0,2][0,2], ff descrescătoare de la 4 la 0, deci există rădăcina unică x=2x=2. Pe [2,∞)[2,\infty), ff crescătoare de la 0 la ∞\infty, deci f(x)≠0f(x) \neq 0 pentru x>2x>2. Astfel, ecuația f(x)=0f(x)=0 are exact o rădăcină reală, x=2x=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.