MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie Analitică
Fie vectorii u⃗=2i⃗+j⃗\vec{u} = 2\vec{i} + \vec{j} și v⃗=i⃗−3j⃗\vec{v} = \vec{i} - 3\vec{j} în planul xOyxOy. Calculați proiecția vectorului u⃗\vec{u} pe direcția vectorului v⃗\vec{v} și unghiul θ\theta dintre cei doi vectori. Utilizați aceste rezultate pentru a determina aria triunghiului având vârfurile în originea OO și în extremitățile vectorilor u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați produsul scalar u⃗⋅v⃗=(2)(1)+(1)(−3)=−1\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(1) + (1)(-3) = -1, modulele ∣u⃗∣=22+12=5|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} și ∣v⃗∣=12+(−3)2=10|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}.
23 puncte
Determinați proiecția projv⃗u⃗=u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2v⃗=−110(i⃗−3j⃗)=−0.1i⃗+0.3j⃗\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v} = \frac{-1}{10} (\vec{i} - 3\vec{j}) = -0.1\vec{i} + 0.3\vec{j} și unghiul θ\theta cu cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣=−15⋅10=−150=−152\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{-1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{50}} = -\frac{1}{5\sqrt{2}}.
34 puncte
Calculați sin⁡θ=1−cos⁡2θ=1−150=750=752\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \frac{1}{50}} = \frac{7}{\sqrt{50}} = \frac{7}{5\sqrt{2}}. Aria triunghiului este 12∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ=12⋅5⋅10⋅752=72\frac{1}{2} |\vec{u}| |\vec{v}| \sin\theta = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{7}{2} unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.