MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Considerăm funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−6x2+9x+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1. a) Studiați monotoniea și convexitatea funcției ff. b) Determinați punctele de extrem local și punctele de inflexiune. c) Aflați valorile parametrului real mm pentru care ecuația f(x)=mf(x) = m are exact două soluții reale.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=3x2−12x+9f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 și rezolvați f′(x)=0f'(x)=0 pentru a găsi punctele critice x=1x=1 și x=3x=3. Studiați semnul lui f′(x)f'(x) pe intervalele (−∞,1)(-\infty,1), (1,3)(1,3), (3,∞)(3,\infty) pentru a stabili că ff este crescătoare pe (−∞,1]∪[3,∞)(-\infty,1] \cup [3,\infty) și descrescătoare pe [1,3][1,3].
23 puncte
Calculați derivata a doua f′′(x)=6x−12f''(x) = 6x - 12 și rezolvați f′′(x)=0f''(x)=0 pentru a găsi punctul de inflexiune x=2x=2. Studiați semnul lui f′′(x)f''(x): f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<2x<2 (concavă) și f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>2x>2 (convexă).
32 puncte
Din studiul monotoniei, punctul x=1x=1 este maxim local cu f(1)=5f(1)=5, iar x=3x=3 este minim local cu f(3)=1f(3)=1. Punctul de inflexiune este (2,f(2))=(2,3)(2, f(2)) = (2,3).
42 puncte
Folosind graficul funcției, ecuația f(x)=mf(x)=m are exact două soluții reale când mm este egal cu valorile funcției în punctele de extrem local: m=5m=5 sau m=1m=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.