MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie Analitică
În spațiul tridimensional cu sistemul de coordonate ortogonale, se consideră punctele A(1,2,3)A(1,2,3), B(4,−1,0)B(4,-1,0) și C(2,5,−1)C(2,5,-1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Determinați ecuația planului care conține punctele A, B și C. c) Aflați distanța de la originea O(0,0,0)O(0,0,0) la acest plan.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
AB⃗=(4−1)i⃗+(−1−2)j⃗+(0−3)k⃗=3i⃗−3j⃗−3k⃗\vec{AB} = (4-1)\vec{i} + (-1-2)\vec{j} + (0-3)\vec{k} = 3\vec{i} - 3\vec{j} - 3\vec{k}, AC⃗=(2−1)i⃗+(5−2)j⃗+(−1−3)k⃗=i⃗+3j⃗−4k⃗\vec{AC} = (2-1)\vec{i} + (5-2)\vec{j} + (-1-3)\vec{k} = \vec{i} + 3\vec{j} - 4\vec{k}.
23 puncte
Calculați produsul vectorial n⃗=AB⃗×AC⃗=∣i⃗j⃗k⃗3−3−313−4∣=i⃗((−3)(−4)−(−3)(3))−j⃗(3(−4)−(−3)(1))+k⃗(3(3)−(−3)(1))=i⃗(12+9)−j⃗(−12+3)+k⃗(9+3)=21i⃗+9j⃗+12k⃗\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -3 & -3 \\ 1 & 3 & -4 \end{vmatrix} = \vec{i}((-3)(-4) - (-3)(3)) - \vec{j}(3(-4) - (-3)(1)) + \vec{k}(3(3) - (-3)(1)) = \vec{i}(12 + 9) - \vec{j}(-12 + 3) + \vec{k}(9 + 3) = 21\vec{i} + 9\vec{j} + 12\vec{k}.
32 puncte
Ecuația planului: 21(x−1)+9(y−2)+12(z−3)=0⇒21x+9y+12z−21−18−36=0⇒21x+9y+12z−75=021(x-1) + 9(y-2) + 12(z-3) = 0 \Rightarrow 21x + 9y + 12z - 21 - 18 - 36 = 0 \Rightarrow 21x + 9y + 12z - 75 = 0.
43 puncte
Distanța de la O(0,0,0)O(0,0,0) la plan: d=∣21⋅0+9⋅0+12⋅0−75∣212+92+122=75441+81+144=75666=75666=75666666=25666222d = \frac{|21\cdot0 + 9\cdot0 + 12\cdot0 - 75|}{\sqrt{21^2 + 9^2 + 12^2}} = \frac{75}{\sqrt{441 + 81 + 144}} = \frac{75}{\sqrt{666}} = \frac{75}{\sqrt{666}} = \frac{75\sqrt{666}}{666} = \frac{25\sqrt{666}}{222} (sau simplificat corespunzător).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.