MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriNumere ComplexeGeometrie Analitică
Fie numerele complexe z1=1z_1 = 1, z2=iz_2 = i, și z3=x+yiz_3 = x+yi. Considerând aceste numere ca puncte în planul complex, determinați xx și yy astfel încât punctele afixe să fie vârfurile unui triunghi echilateral. Calculați apoi modulul sumei z1+z2+z3z_1 + z_2 + z_3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți condițiile pentru triunghi echilateral: ∣z1−z2∣=∣z2−z3∣=∣z3−z1∣|z_1 - z_2| = |z_2 - z_3| = |z_3 - z_1|. Calculați ∣z1−z2∣=∣1−i∣=2|z_1 - z_2| = |1-i| = \sqrt{2}.
24 puncte
Obțineți sistemul de ecuații: ∣z2−z3∣=2|z_2 - z_3| = \sqrt{2} și ∣z3−z1∣=2|z_3 - z_1| = \sqrt{2}, adică x2+(1−y)2=2x^2 + (1-y)^2 = 2 și (x−1)2+y2=2(x-1)^2 + y^2 = 2. Rezolvați, obținând x=yx=y și x=1±32x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}, deci y=1±32y = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}.
33 puncte
Calculați ∣z1+z2+z3∣|z_1 + z_2 + z_3|: z1+z2+z3=1+i+1±32+1±32i=3±32+3±32iz_1 + z_2 + z_3 = 1 + i + \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} + \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}i = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}i, deci ∣z1+z2+z3∣=(3±3)22|z_1 + z_2 + z_3| = \frac{(3 \pm \sqrt{3}) \sqrt{2}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.