MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff, precum și punctele de extrem și de inflexiune. Apoi, scrieți ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1x = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x.\n
23 puncte
Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0 obținând x=0x=0 și x=2x=2. Se determină semnul derivatei întâi: pe (−∞,0)(-\infty,0), f′(x)>0f'(x) > 0 deci ff crescătoare; pe (0,2)(0,2), f′(x)<0f'(x) < 0 deci ff descrescătoare; pe (2,∞)(2,\infty), f′(x)>0f'(x) > 0 deci ff crescătoare. Punctele de extrem: maxim local în x=0x=0 cu f(0)=4f(0)=4, minim local în x=2x=2 cu f(2)=0f(2)=0.\n
32 puncte
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6.\n
42 puncte
Se rezolvă f′′(x)=0f''(x)=0 obținând x=1x=1. Se determină semnul derivatei a doua: pe (−∞,1)(-\infty,1), f′′(x)<0f''(x) < 0 deci ff concavă; pe (1,∞)(1,\infty), f′′(x)>0f''(x) > 0 deci ff convexă. Punctul de inflexiune este (1,f(1))=(1,2)(1, f(1)) = (1,2).\n
51 punct
Ecuația tangentei în x=1x=1: y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x-1), cu f′(1)=3(1)2−6(1)=−3f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = -3, deci y−2=−3(x−1)y - 2 = -3(x-1) sau y=−3x+5y = -3x + 5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.