MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAplicații ale trigonometriei în geometrieGeometrie Analitică
În triunghiul ABC, se cunosc lungimile laturilor: AB = 5, BC = 6, AC = 7. Considerăm vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. a) Exprimați vectorul BC⃗\vec{BC} în funcție de AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Calculați produsul scalar AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC}. c) Folosind rezultatul de la b), determinați măsura unghiului A. d) Aflați lungimea înălțimii din A pe BC.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
BC⃗=AC⃗−AB⃗\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}.
23 puncte
Produsul scalar AB⃗⋅AC⃗=∣AB∣⋅∣AC∣⋅cos⁡A\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |AB| \cdot |AC| \cdot \cos A. Din teorema cosinusurilor: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡ABC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A. Înlocuind: 62=52+72−2⋅5⋅7⋅cos⁡A6^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos A, deci 36=25+49−70cos⁡A36 = 25 + 49 - 70 \cos A, 36=74−70cos⁡A36 = 74 - 70 \cos A, 70cos⁡A=3870 \cos A = 38, cos⁡A=1935\cos A = \frac{19}{35}. Atunci AB⃗⋅AC⃗=5⋅7⋅1935=19\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 5 \cdot 7 \cdot \frac{19}{35} = 19.
33 puncte
Unghiul A: cos⁡A=1935\cos A = \frac{19}{35}, deci A=arccos⁡(1935)A = \arccos\left(\frac{19}{35}\right).
42 puncte
Aria triunghiului: folosind formula lui Heron: semiperimetrul s=5+6+72=9s = \frac{5+6+7}{2} = 9, aria S=9(9−5)(9−6)(9−7)=9⋅4⋅3⋅2=216=66S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}. Lungimea înălțimii din A: hA=2SBC=2⋅666=26h_A = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \cdot 6\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.