MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Un semicerc are ecuația x2+y2=25x^2 + y^2 = 25, y≥0y \geq 0. Un dreptunghi este inscris în acest semicerc, cu baza pe axa Ox și vârfurile superioare pe semicerc. Fie hh înălțimea dreptunghiului. a) Exprimați aria A(h)A(h) a dreptunghiului în funcție de hh. b) Determinați domeniul de definiție al funcției AA. c) Studiați monotonia funcției A(h)A(h) folosind derivata întâi. d) Determinați valoarea lui hh pentru care aria este maximă. e) Studiați convexitatea funcției A(h)A(h) folosind derivata a doua.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se exprimă aria: baza dreptunghiului este 225−h22\sqrt{25 - h^2}, deci A(h)=2h25−h2A(h) = 2h \sqrt{25 - h^2}.
21 punct
Domeniul de definiție: h∈(0,5)h \in (0, 5), deoarece înălțimea este pozitivă și mai mică decât raza.
33 puncte
Se calculează derivata întâi: A′(h)=225−h2−2h225−h2=2(25−2h2)25−h2A'(h) = 2\sqrt{25 - h^2} - \frac{2h^2}{\sqrt{25 - h^2}} = \frac{2(25 - 2h^2)}{\sqrt{25 - h^2}}; se studiază semnul: A′(h)=0A'(h) = 0 pentru h=522h = \frac{5\sqrt{2}}{2}; pentru 0<h<5220 < h < \frac{5\sqrt{2}}{2}, A′(h)>0A'(h) > 0 (funcție crescătoare); pentru 522<h<5\frac{5\sqrt{2}}{2} < h < 5, A′(h)<0A'(h) < 0 (funcție descrescătoare).
42 puncte
Punctul de maxim este h=522h = \frac{5\sqrt{2}}{2}, unde aria este maximă, deoarece derivata schimbă semnul din pozitiv în negativ.
52 puncte
Se calculează derivata a doua: A′′(h)=−2h(75−2h2)(25−h2)3/2A''(h) = \frac{-2h(75 - 2h^2)}{(25 - h^2)^{3/2}}; se analizează semnul: pentru h∈(0,5)h \in (0,5), A′′(h)<0A''(h) < 0 (funcție concavă), ceea ce confirmă că punctul critic este maxim.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.