MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Studiați monotonia și convexitatea funcției și determinați punctele de extrem și de inflexiune. Apoi, folosind derivata, găsiți ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x și analiza semnului ei; rezolvarea f′(x)=0f'(x)=0 dă x=0x=0 și x=2x=2.
23 puncte
Determinarea intervalelor de monotonie: ff este crescătoare pe (−∞,0]∪[2,∞)(-\infty,0] \cup [2,\infty) și descrescătoare pe [0,2][0,2]; punctele de extrem: maxim local în x=0x=0 cu f(0)=4f(0)=4, minim local în x=2x=2 cu f(2)=0f(2)=0.
32 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6 și studierea semnului ei; f′′(x)=0f''(x)=0 pentru x=1x=1.
42 puncte
Determinarea intervalelor de convexitate: ff este concavă pe (−∞,1)(-\infty,1) și convexă pe (1,∞)(1,\infty); punct de inflexiune în x=1x=1 cu f(1)=2f(1)=2.
51 punct
Găsirea ecuației tangentei în x=1x=1: f′(1)=−3f'(1) = -3, deci ecuația este y−2=−3(x−1)y - 2 = -3(x - 1) sau y=−3x+5y = -3x + 5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.