MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorPolinoame
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, cu a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}, a≠0a \neq 0. Știind că ff are un punct de extrem la x=1x=1 și un punct de inflexiune la x=2x=2, iar f(0)=3f(0)=3, determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d. a) Aflați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff. b) Utilizând derivatele, calculați valoarea maximă și minimă a funcției pe intervalul [0,3][0,3].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Scrieți condițiile f′(1)=0f'(1)=0, f′′(2)=0f''(2)=0, și f(0)=3f(0)=3, obținând sistemul {3a+2b+c=012a+2b=0d=3\begin{cases} 3a + 2b + c = 0 \\ 12a + 2b = 0 \\ d = 3 \end{cases} și rezolvați-l pentru a găsi a=1a=1, b=−6b=-6, c=9c=9, d=3d=3.
22 puncte
Calculați f′(x)=3x2−12x+9f'(x)=3x^2-12x+9, determinați rădăcinile x=1x=1 și x=3x=3, și intervalele de monotonie: crescătoare pe (−∞,1]∪[3,∞)(-\infty,1] \cup [3,\infty) și descrescătoare pe [1,3][1,3].
32 puncte
Calculați f′′(x)=6x−12f''(x)=6x-12, determinați semnul: convexă (concavă în sus) pe [2,∞)[2,\infty) și concavă (concavă în jos) pe (−∞,2](-\infty,2].
42 puncte
Evaluați ff în punctele critice x=1x=1 și x=3x=3 și capetele x=0x=0 și x=3x=3 pe intervalul [0,3][0,3]: f(0)=3f(0)=3, f(1)=7f(1)=7, f(3)=3f(3)=3, deci valoarea maximă este 7 și minimă este 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.