MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorArii și volume
Un dreptunghi este înscris într-un semicerc de rază R>0R > 0. Semicercul este descris de ecuația y=R2−x2y = \sqrt{R^2 - x^2} pentru x∈[−R,R]x \in [-R, R], cu diametrul pe axa Ox. Dreptunghiul are baza pe axa Ox și vârfurile superioare pe semicerc. a) Exprimați aria A(x)A(x) a dreptunghiului în funcție de abscisa xx a vârfului dreapta, unde 0<x<R0 < x < R. b) Determinați valoarea lui xx pentru care aria este maximă. c) Studiați monotonia și convexitatea funcției A(x)A(x) pe intervalul (0,R)(0,R).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Considerând că dreptunghiul are baza de lungime 2x2x și înălțimea R2−x2\sqrt{R^2 - x^2}, aria este A(x)=2xR2−x2A(x) = 2x \sqrt{R^2 - x^2}, cu x∈(0,R)x \in (0,R).
23 puncte
Calculați derivata întâi: A′(x)=2R2−x2+2x⋅−xR2−x2=2(R2−x2)−2x2R2−x2=2(R2−2x2)R2−x2A'(x) = 2\sqrt{R^2 - x^2} + 2x \cdot \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}} = \frac{2(R^2 - x^2) - 2x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}} = \frac{2(R^2 - 2x^2)}{\sqrt{R^2 - x^2}}. Găsiți punctele critice: A′(x)=0A'(x)=0 implică R2−2x2=0R^2 - 2x^2 = 0, deci x=R2x = \frac{R}{\sqrt{2}} (pentru că x>0x>0).
32 puncte
Studiați semnul lui A′(x)A'(x): pe (0,R2)(0, \frac{R}{\sqrt{2}}), R2−2x2>0R^2 - 2x^2 > 0, deci A′(x)>0A'(x) > 0, adică AA crescătoare; pe (R2,R)(\frac{R}{\sqrt{2}}, R), R2−2x2<0R^2 - 2x^2 < 0, deci A′(x)<0A'(x) < 0, adică AA descrescătoare. Astfel, x=R2x = \frac{R}{\sqrt{2}} este punct de maxim.
42 puncte
Pentru convexitate, calculați derivata a doua: A′′(x)=ddx(2(R2−2x2)R2−x2)A''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2(R^2 - 2x^2)}{\sqrt{R^2 - x^2}} \right). Simplificând, A′′(x)=−2x(3R2−2x2)(R2−x2)3/2A''(x) = \frac{-2x(3R^2 - 2x^2)}{(R^2 - x^2)^{3/2}}. Pe (0,R)(0,R), R2−x2>0\sqrt{R^2 - x^2} > 0, iar −2x<0-2x < 0, iar 3R2−2x2>03R^2 - 2x^2 > 0 (deoarece pentru x=Rx=R, 3R2−2R2=R2>03R^2 - 2R^2 = R^2 > 0), deci A′′(x)<0A''(x) < 0, adică AA este concavă pe (0,R)(0,R).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.