MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră vectorii a⃗=3i⃗−4j⃗\vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j} și b⃗=mi⃗+2j⃗\vec{b} = m\vec{i} + 2\vec{j}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. Determinați mm astfel încât unghiul dintre a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} să fie de 60∘60^\circ. Calculați apoi norma vectorului a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} pentru valoarea găsită a lui mm.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem formula produsului scalar: a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta, unde θ=60∘\theta = 60^\circ.
22 puncte
Calculăm ∣a⃗∣=32+(−4)2=5|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5, ∣b⃗∣=m2+22=m2+4|\vec{b}| = \sqrt{m^2 + 2^2} = \sqrt{m^2 + 4}, și a⃗⋅b⃗=3m−8\vec{a} \cdot \vec{b} = 3m - 8.
33 puncte
Înlocuim în formula: 3m−8=5⋅m2+4⋅123m - 8 = 5 \cdot \sqrt{m^2 + 4} \cdot \frac{1}{2}. Obținem 3m−8=52m2+43m - 8 = \frac{5}{2} \sqrt{m^2 + 4}. Ridicăm la pătrat: (3m−8)2=254(m2+4)(3m - 8)^2 = \frac{25}{4}(m^2 + 4). Dezvoltăm: 9m2−48m+64=254m2+259m^2 - 48m + 64 = \frac{25}{4}m^2 + 25. Înmulțim cu 4: 36m2−192m+256=25m2+10036m^2 - 192m + 256 = 25m^2 + 100. Simplificăm: 11m2−192m+156=011m^2 - 192m + 156 = 0. Rezolvăm: Δ=1922−4⋅11⋅156=30000\Delta = 192^2 - 4 \cdot 11 \cdot 156 = 30000, deci Δ=1003\sqrt{\Delta} = 100\sqrt{3}. Soluțiile: m=192±100322=96±50311m = \frac{192 \pm 100\sqrt{3}}{22} = \frac{96 \pm 50\sqrt{3}}{11}.
43 puncte
Pentru m=96+50311m = \frac{96 + 50\sqrt{3}}{11}, calculăm a⃗+b⃗=(3+m)i⃗−2j⃗\vec{a} + \vec{b} = (3 + m)\vec{i} - 2\vec{j}. Norma: ∣a⃗+b⃗∣=(3+m)2+4=(3+96+50311)2+4|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{(3 + m)^2 + 4} = \sqrt{\left(3 + \frac{96 + 50\sqrt{3}}{11}\right)^2 + 4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.