MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAplicații ale trigonometriei în geometrie
În triunghiul ABC, se cunosc lungimile laturilor: AB=6AB=6, BC=8BC=8, AC=10AC=10. Se consideră vectorii u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} și v⃗=AC→\vec{v} = \overrightarrow{AC}. a) Calculați ∣u⃗∣|\vec{u}| și ∣v⃗∣|\vec{v}|. b) Folosind teorema cosinusului, determinați cos⁡∠A\cos \angle A și apoi calculați produsul scalar u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. c) Exprimați vectorul BC→\overrightarrow{BC} în funcție de u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} și calculați ∣BC→∣|\overrightarrow{BC}|, verificând că este egal cu 8. d) Calculați aria triunghiului ABC și înălțimea din A.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
∣u⃗∣=AB=6|\vec{u}| = AB = 6, ∣v⃗∣=AC=10|\vec{v}| = AC = 10.
23 puncte
Teorema cosinusului: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡∠ABC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A, deci 64=36+100−2⋅6⋅10⋅cos⁡∠A⇒64=136−120cos⁡∠A⇒120cos⁡∠A=72⇒cos⁡∠A=72120=3564 = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos \angle A \Rightarrow 64 = 136 - 120 \cos \angle A \Rightarrow 120 \cos \angle A = 72 \Rightarrow \cos \angle A = \frac{72}{120} = \frac{3}{5}. Atunci u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡∠A=6⋅10⋅35=36\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \angle A = 6 \cdot 10 \cdot \frac{3}{5} = 36.
33 puncte
BC→=AC→−AB→=v⃗−u⃗\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \vec{v} - \vec{u}. Atunci ∣BC→∣2=(v⃗−u⃗)⋅(v⃗−u⃗)=∣v⃗∣2+∣u⃗∣2−2u⃗⋅v⃗=100+36−2⋅36=136−72=64|\overrightarrow{BC}|^2 = (\vec{v} - \vec{u}) \cdot (\vec{v} - \vec{u}) = |\vec{v}|^2 + |\vec{u}|^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} = 100 + 36 - 2 \cdot 36 = 136 - 72 = 64, deci ∣BC→∣=8|\overrightarrow{BC}| = 8.
43 puncte
Aria triunghiului: A=12∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡∠AA = \frac{1}{2} |\vec{u}| |\vec{v}| \sin \angle A. Din cos⁡∠A=35\cos \angle A = \frac{3}{5}, avem sin⁡∠A=1−(35)2=1625=45\sin \angle A = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}. Deci A=12⋅6⋅10⋅45=24A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{4}{5} = 24. Înălțimea din A: hA=2ABC=488=6h_A = \frac{2A}{BC} = \frac{48}{8} = 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.