MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se dau punctele A(1, -1, 2), B(3, 0, 1), și C(2, 1, -1). a) Calculați aria triunghiului ABC. b) Determinați coordonatele punctului D astfel încât patrulaterul ABCD să fie un paralelogram. c) Aflați volumul paralelipipedului construit pe vectorii AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC}, și AD⃗\vec{AD}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculează vectorii AB⃗=B−A=(3−1,0−(−1),1−2)=(2,1,−1)\vec{AB} = B - A = (3-1, 0-(-1), 1-2) = (2, 1, -1) și AC⃗=C−A=(2−1,1−(−1),−1−2)=(1,2,−3)\vec{AC} = C - A = (2-1, 1-(-1), -1-2) = (1, 2, -3). Apoi calculează produsul vectorial AB⃗×AC⃗=∣i⃗j⃗k⃗21−112−3∣=i⃗(1∗(−3)−(−1)∗2)−j⃗(2∗(−3)−(−1)∗1)+k⃗(2∗2−1∗1)=i⃗(−3+2)−j⃗(−6+1)+k⃗(4−1)=−i⃗+5j⃗+3k⃗\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \vec{i}(1*(-3) - (-1)*2) - \vec{j}(2*(-3) - (-1)*1) + \vec{k}(2*2 - 1*1) = \vec{i}(-3 +2) - \vec{j}(-6 +1) + \vec{k}(4-1) = -\vec{i} +5\vec{j} +3\vec{k}. Modulul este (−1)2+52+32=1+25+9=35\sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{1+25+9} = \sqrt{35}. Aria triunghiului este 1235\frac{1}{2} \sqrt{35}.
23 puncte
Pentru ca ABCD să fie paralelogram, trebuie ca AB⃗=DC⃗\vec{AB} = \vec{DC}. Fie D(x,y,z). Atunci DC⃗=C−D=(2−x,1−y,−1−z)\vec{DC} = C - D = (2-x, 1-y, -1-z). Setează egal cu AB⃗=(2,1,−1)\vec{AB} = (2,1,-1): 2−x=2⇒x=02-x=2 \Rightarrow x=0, 1−y=1⇒y=01-y=1 \Rightarrow y=0, −1−z=−1⇒z=0-1-z=-1 \Rightarrow z=0. Deci D(0,0,0).
34 puncte
Calculează AD⃗=D−A=(0−1,0−(−1),0−2)=(−1,1,−2)\vec{AD} = D - A = (0-1, 0-(-1), 0-2) = (-1, 1, -2). Apoi calculează produsul mixt (AB⃗×AC⃗)⋅AD⃗=(−i⃗+5j⃗+3k⃗)⋅(−1,1,−2)=(−1)∗(−1)+5∗1+3∗(−2)=1+5−6=0(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD} = (-\vec{i} +5\vec{j} +3\vec{k}) \cdot (-1,1,-2) = (-1)*(-1) + 5*1 + 3*(-2) = 1 + 5 -6 = 0. Volumul paralelipipedului este ∣0∣=0|0| = 0, ceea ce indică faptul că vectorii sunt coplanari, ceea ce este consistent deoarece D este ales pentru a forma paralelogram.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.