MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie sistemul de ecuații liniare: {ax+y+z=1x+ay+z=1x+y+az=1\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = 1 \\ x + y + a z = 1 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și, în acest caz, calculați soluția în funcție de aa. Apoi, analizați cazurile în care sistemul nu are soluție unică.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem matricea coeficienților A=(a111a111a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} și calculăm determinantul Δ=det⁡(A)=a⋅∣a11a∣−1⋅∣111a∣+1⋅∣1a11∣=a(a2−1)−1(a−1)+1(1−a)=a3−a−a+1+1−a=a3−3a+2\Delta = \det(A) = a \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a) = a^3 - a - a + 1 + 1 - a = a^3 - 3a + 2. Simplificăm: Δ=(a−1)2(a+2)\Delta = (a-1)^2(a+2).
22 puncte
Sistemul are soluție unică dacă Δ≠0\Delta \neq 0, adică pentru a∈R∖{1,−2}a \in \mathbb{R} \setminus \{1, -2\}.
33 puncte
Pentru a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2, folosim regula lui Cramer. Calculăm Δx=∣1111a111a∣=(a−1)2\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = (a-1)^2, similar Δy=(a−1)2\Delta_y = (a-1)^2 și Δz=(a−1)2\Delta_z = (a-1)^2. Atunci x=ΔxΔ=(a−1)2(a−1)2(a+2)=1a+2x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{(a-1)^2}{(a-1)^2(a+2)} = \frac{1}{a+2}, y=1a+2y = \frac{1}{a+2}, z=1a+2z = \frac{1}{a+2}. Soluția este x=y=z=1a+2x=y=z=\frac{1}{a+2}.
42 puncte
Pentru a=1a=1, sistemul devine x+y+z=1x+y+z=1 pentru toate ecuațiile, deci are infinitate de soluții (compatibil nedeterminat). Pentru a=−2a=-2, sistemul devine {−2x+y+z=1x−2y+z=1x+y−2z=1\begin{cases} -2x+y+z=1 \\ x-2y+z=1 \\ x+y-2z=1 \end{cases}; adunând ecuațiile, obținem 0=30=3, contradicție, deci sistemul este incompatibil.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.