MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrie
În triunghiul ABC, se cunosc AB=6AB = 6, BC=8BC = 8 și ∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ. Determinați lungimea laturii AC și aria triunghiului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aplicăm teorema cosinusurilor: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡∠BACBC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC. Înlocuim: 82=62+AC2−2⋅6⋅AC⋅cos⁡30∘8^2 = 6^2 + AC^2 - 2 \cdot 6 \cdot AC \cdot \cos 30^\circ. Obținem AC2−63AC−28=0AC^2 - 6\sqrt{3}AC - 28 = 0. Rezolvăm: AC=33+55AC = 3\sqrt{3} + \sqrt{55} (valoare pozitivă).
23 puncte
Aria triunghiului: A=12⋅AB⋅AC⋅sin⁡∠BAC=12⋅6⋅AC⋅sin⁡30∘=3⋅AC⋅12=32ACA = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot AC \cdot \sin 30^\circ = 3 \cdot AC \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}AC.
33 puncte
Substituim AC: A=32(33+55)=93+3552A = \frac{3}{2}(3\sqrt{3} + \sqrt{55}) = \frac{9\sqrt{3} + 3\sqrt{55}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.