MediuInducție matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăNumere ComplexeTrigonometrie
Consideră numărul complex z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta, unde θ∈R\theta \in \mathbb{R}. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, are loc zn=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)z^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=1n=1: z1=cos⁡θ+isin⁡θz^1 = \cos \theta + i \sin \theta, deci egalitatea este adevărată.
23 puncte
Presupunem că formula este adevărată pentru n=kn=k, adică zk=cos⁡(kθ)+isin⁡(kθ)z^k = \cos(k\theta) + i \sin(k\theta).
34 puncte
Demonstrăm pentru n=k+1n=k+1. Calculăm zk+1=zk⋅z=[cos⁡(kθ)+isin⁡(kθ)]⋅[cos⁡θ+isin⁡θ]=cos⁡(kθ)cos⁡θ−sin⁡(kθ)sin⁡θ+i[sin⁡(kθ)cos⁡θ+cos⁡(kθ)sin⁡θ]=cos⁡((k+1)θ)+isin⁡((k+1)θ)z^{k+1} = z^k \cdot z = [\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)] \cdot [\cos \theta + i \sin \theta] = \cos(k\theta)\cos \theta - \sin(k\theta)\sin \theta + i[\sin(k\theta)\cos \theta + \cos(k\theta)\sin \theta] = \cos((k+1)\theta) + i \sin((k+1)\theta) folosind formulele trigonometrice pentru cosinusul și sinusul sumei.
41 punct
Conchidem că prin inducție matematică, formula este adevărată pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.