MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Fie sistemul de ecuații liniare: {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Să se determine valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică, și în acest caz să se găsească soluția. De asemenea, să se discute cazurile când sistemul are o infinitate de soluții sau nu are soluție.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem sistemul în formă matricială Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}, unde A=(a111a111a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, x⃗=(xyz)\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, b⃗=(1aa2)\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ a^2 \end{pmatrix}. Calculăm determinantul matricei AA: det⁡(A)=a(a2−1)−1(a−1)+1(1−a)=a3−a−a+1+1−a=a3−3a+2\det(A) = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a) = a^3 - a - a + 1 + 1 - a = a^3 - 3a + 2. Factorizăm: det⁡(A)=(a−1)2(a+2)\det(A) = (a-1)^2(a+2).
24 puncte
Pentru det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2, sistemul are soluție unică. Folosind regula lui Cramer, calculăm x=det⁡(Ax)det⁡(A)x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}, unde AxA_x se obține înlocuind prima coloană a lui AA cu b⃗\vec{b}: det⁡(Ax)=∣111aa1a21a∣=1⋅(a2−1)−1⋅(a2−a2)+1⋅(a−a2)=a2−1+a−a2=a−1\det(A_x) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & a & 1 \\ a^2 & 1 & a \end{vmatrix} = 1 \cdot (a^2 - 1) - 1 \cdot (a^2 - a^2) + 1 \cdot (a - a^2) = a^2 - 1 + a - a^2 = a - 1. Similar, det⁡(Ay)=∣a111a11a2a∣=a(a2−a)−1(a−1)+1(a2−a2)=a3−a2−a+1=(a−1)2(a+1)\det(A_y) = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & a^2 & a \end{vmatrix} = a(a^2 - a) - 1(a - 1) + 1(a^2 - a^2) = a^3 - a^2 - a + 1 = (a-1)^2(a+1), și det⁡(Az)=∣a111aa11a2∣=a(a3−1)−1(a2−a)+1(1−a2)=a4−a−a2+a+1−a2=a4−2a2+1=(a2−1)2\det(A_z) = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & a \\ 1 & 1 & a^2 \end{vmatrix} = a(a^3 - 1) - 1(a^2 - a) + 1(1 - a^2) = a^4 - a - a^2 + a + 1 - a^2 = a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2-1)^2. Atunci x=a−1(a−1)2(a+2)=1(a−1)(a+2)x = \frac{a-1}{(a-1)^2(a+2)} = \frac{1}{(a-1)(a+2)}, y=(a−1)2(a+1)(a−1)2(a+2)=a+1a+2y = \frac{(a-1)^2(a+1)}{(a-1)^2(a+2)} = \frac{a+1}{a+2}, z=(a2−1)2(a−1)2(a+2)=(a−1)2(a+1)2(a−1)2(a+2)=(a+1)2a+2z = \frac{(a^2-1)^2}{(a-1)^2(a+2)} = \frac{(a-1)^2(a+1)^2}{(a-1)^2(a+2)} = \frac{(a+1)^2}{a+2} (se pot verifica prin substituție în sistem).
33 puncte
Pentru a=1a = 1, sistemul devine {x+y+z=1x+y+z=1x+y+z=1\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \end{cases}, care are o infinitate de soluții: orice x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R} cu x+y+z=1x + y + z = 1. Pentru a=−2a = -2, sistemul devine {−2x+y+z=1x−2y+z=−2x+y−2z=4\begin{cases} -2x + y + z = 1 \\ x - 2y + z = -2 \\ x + y - 2z = 4 \end{cases}. Adunând primele două ecuații, obținem −x−y+2z=−1-x - y + 2z = -1, iar din a treia, x+y−2z=4x + y - 2z = 4, care sunt contradictorii, deci sistemul nu are soluție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.