MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorDerivate
Fie funcția f(x)=x2+ax+bx−2f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x - 2}, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determinați aa și bb astfel încât graficul funcției să admită asimptota verticală x=2x = 2 și asimptota oblică y=x+1y = x + 1. Pentru valorile găsite, studiați monotonia funcției pe domeniul de definiție.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Condiția pentru asimptota verticală x=2x=2 este ca limită laterală în x=2x=2 să fie infinită, adică numitorul se anulează și numărătorul nu se anulează simultan. Pentru asimptota oblică y=x+1y=x+1, se calculează m=lim⁡x→±∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 1 și n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)=1n = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) = 1.
24 puncte
Din condiția asimptotei verticale, x=2x=2 este punct de nedefinire. Pentru ca x=2x=2 să fie asimptotă verticală, trebuie ca lim⁡x→2f(x)=±∞\lim_{x \to 2} f(x) = \pm \infty, deci numărătorul x2+ax+bx^2 + ax + b nu se anulează în x=2x=2: 22+a⋅2+b≠02^2 + a\cdot2 + b \neq 0, adică 4+2a+b≠04 + 2a + b \neq 0. Pentru asimptota oblică, calculăm m=lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞x2+ax+bx(x−2)=1m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + ax + b}{x(x-2)} = 1 (adevărat indiferent de aa și bb dacă gradul numărătorului este 2). Apoi n=lim⁡x→∞(f(x)−x)=lim⁡x→∞(x2+ax+bx−2−x)=lim⁡x→∞(a+2)x+bx−2=a+2n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + ax + b}{x-2} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{(a+2)x + b}{x-2} = a+2. Pentru ca asimptota să fie y=x+1y=x+1, avem n=1n=1, deci a+2=1⇒a=−1a+2=1 \Rightarrow a=-1. Înlocuind a=−1a=-1 în condiția asimptotei verticale, obținem 4+2(−1)+b≠0⇒2+b≠0⇒b≠−24 + 2(-1) + b \neq 0 \Rightarrow 2 + b \neq 0 \Rightarrow b \neq -2. Soluția este a=−1a=-1 și b∈R∖{−2}b \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}; pentru continuare, se poate lua de exemplu b=0b=0.
33 puncte
Pentru a=−1a=-1 și b=0b=0, funcția devine f(x)=x2−xx−2f(x) = \frac{x^2 - x}{x-2}. Derivata: f′(x)=(2x−1)(x−2)−(x2−x)(x−2)2=x2−4x+2(x−2)2f'(x) = \frac{(2x-1)(x-2) - (x^2-x)}{(x-2)^2} = \frac{x^2 -4x +2}{(x-2)^2}. Numitorul este pozitiv. Numărătorul x2−4x+2x^2 -4x +2 are rădăcinile x=2±2x = 2 \pm \sqrt{2}. Pe domeniul R∖{2}\mathbb{R} \setminus \{2\}, semnul derivatei: pozitiv pe (−∞,2−2)(-\infty, 2-\sqrt{2}) și (2+2,∞)(2+\sqrt{2}, \infty) (funcție crescătoare), negativ pe (2−2,2)(2-\sqrt{2}, 2) și (2,2+2)(2, 2+\sqrt{2}) (funcție descrescătoare).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.