MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorTrigonometrieMonotonie și convexitate
Fie funcția f:[0,2π]→Rf: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}, f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos x. a) Determinați intervalele de monotonie ale funcției. b) Aflați punctele de extrem local. c) Studiați convexitatea funcției pe intervalul dat. d) Demonstrați că valoarea maximă a funcției este 2\sqrt{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=cos⁡x−sin⁡xf'(x) = \cos x - \sin x.
22 puncte
Rezolvarea f′(x)=0f'(x) = 0: cos⁡x−sin⁡x=0⇒tan⁡x=1⇒x=π4\cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} sau x=5π4x = \frac{5\pi}{4} în [0,2π][0, 2\pi].
32 puncte
Studiul semnului lui f′(x)f'(x): pe (0,π4)(0, \frac{\pi}{4}), f′>0f' > 0 (crescătoare); pe (π4,5π4)(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}), f′<0f' < 0 (descrescătoare); pe (5π4,2π)(\frac{5\pi}{4}, 2\pi), f′>0f' > 0 (crescătoare).
42 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=−sin⁡x−cos⁡xf''(x) = -\sin x - \cos x. Studierea semnului pentru convexitate: f′′(x)=0f''(x) = 0 când sin⁡x+cos⁡x=0\sin x + \cos x = 0, adică tan⁡x=−1\tan x = -1, cu soluțiile x=3π4x = \frac{3\pi}{4} și x=7π4x = \frac{7\pi}{4}; pe (0,3π4)(0, \frac{3\pi}{4}), f′′<0f'' < 0 (concavă); pe (3π4,7π4)(\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}), f′′>0f'' > 0 (convexă); pe (7π4,2π)(\frac{7\pi}{4}, 2\pi), f′′<0f'' < 0 (concavă).
52 puncte
Evaluarea funcției în punctele critice: f(π4)=2f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} (maxim local), f(5π4)=−2f(\frac{5\pi}{4}) = -\sqrt{2} (minim local); din studiul monotoniei, 2\sqrt{2} este maximul global pe [0,2π][0, 2\pi].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.