MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieGeometrie Analitică
În triunghiul ABC, se cunosc AB=5AB = 5, AC=7AC = 7 și cos⁡∠BAC=15\cos \angle BAC = \frac{1}{5}. Calculați lungimea laturii BC și aria triunghiului. Apoi, determinați ecuația cercului circumscris triunghiului, știind că A are coordonatele (0,0), B este pe axa Ox, și AB = 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul ABC: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡∠BAC=52+72−2⋅5⋅7⋅15=25+49−14=60BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{5} = 25 + 49 - 14 = 60, deci BC=60=215BC = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}.\n
23 puncte
Calculăm sin⁡∠BAC=1−cos⁡2∠BAC=1−125=2425=265\sin \angle BAC = \sqrt{1 - \cos^2 \angle BAC} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}. Aria triunghiului este 12⋅AB⋅AC⋅sin⁡∠BAC=12⋅5⋅7⋅265=76\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = 7\sqrt{6}.\n
34 puncte
Stabilim coordonatele: A(0,0), B(5,0). Fie C(x,y). Atunci x2+y2=49x^2 + y^2 = 49 și AB⃗⋅AC⃗=5x=7\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 5x = 7, deci x=75x = \frac{7}{5}. Înlocuind, y2=49−4925=117625y^2 = 49 - \frac{49}{25} = \frac{1176}{25}, deci y=1465y = \frac{14\sqrt{6}}{5} (luăm varianta pozitivă). Centrul cercului circumscris este intersecția mediatoarelor: mediatoarea lui AB are ecuația x=2.5x = 2.5; mediatoarea lui AC trece prin punctul mediu N(710,765)N\left(\frac{7}{10}, \frac{7\sqrt{6}}{5}\right) și are panta −126-\frac{1}{2\sqrt{6}}, cu ecuația y−765=−126(x−710)y - \frac{7\sqrt{6}}{5} = -\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(x - \frac{7}{10}\right). Pentru x=2.5x = 2.5, obținem y=765−126(2.5−710)=765−126⋅1810=765−9106=14610−9106=84−9106=75106=1526=564y = \frac{7\sqrt{6}}{5} - \frac{1}{2\sqrt{6}}\left(2.5 - \frac{7}{10}\right) = \frac{7\sqrt{6}}{5} - \frac{1}{2\sqrt{6}} \cdot \frac{18}{10} = \frac{7\sqrt{6}}{5} - \frac{9}{10\sqrt{6}} = \frac{14\sqrt{6}}{10} - \frac{9}{10\sqrt{6}} = \frac{84 - 9}{10\sqrt{6}} = \frac{75}{10\sqrt{6}} = \frac{15}{2\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{4}. Raza este distanța de la centru O(2.5,564)O\left(2.5, \frac{5\sqrt{6}}{4}\right) la A(0,0): R=(2.5)2+(564)2=254+15016=10016+15016=25016=5104R = \sqrt{(2.5)^2 + \left(\frac{5\sqrt{6}}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{150}{16}} = \sqrt{\frac{100}{16} + \frac{150}{16}} = \sqrt{\frac{250}{16}} = \frac{5\sqrt{10}}{4}. Ecuația cercului: (x−2.5)2+(y−564)2=(5104)2\left(x - 2.5\right)^2 + \left(y - \frac{5\sqrt{6}}{4}\right)^2 = \left(\frac{5\sqrt{10}}{4}\right)^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.