MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, ∑k=1nk⋅2k=(n−1)2n+1+2\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k = (n-1)2^{n+1} + 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=1n=1: ∑k=11k⋅2k=1⋅2=2\sum_{k=1}^{1} k \cdot 2^k = 1 \cdot 2 = 2 și (1−1)21+1+2=0⋅4+2=2(1-1)2^{1+1} + 2 = 0 \cdot 4 + 2 = 2, deci egalitatea este adevărată.
23 puncte
Presupunem că pentru n=mn=m, ∑k=1mk⋅2k=(m−1)2m+1+2\sum_{k=1}^{m} k \cdot 2^k = (m-1)2^{m+1} + 2.
35 puncte
Demonstrăm pentru n=m+1n=m+1: ∑k=1m+1k⋅2k=∑k=1mk⋅2k+(m+1)2m+1=(m−1)2m+1+2+(m+1)2m+1=[(m−1)+(m+1)]2m+1+2=(2m)2m+1+2=m⋅2m+2+2\sum_{k=1}^{m+1} k \cdot 2^k = \sum_{k=1}^{m} k \cdot 2^k + (m+1)2^{m+1} = (m-1)2^{m+1} + 2 + (m+1)2^{m+1} = [(m-1)+(m+1)]2^{m+1} + 2 = (2m)2^{m+1} + 2 = m \cdot 2^{m+2} + 2. Pentru n=m+1n=m+1, membrul drept este ((m+1)−1)2(m+1)+1+2=m⋅2m+2+2((m+1)-1)2^{(m+1)+1} + 2 = m \cdot 2^{m+2} + 2, deci egalitatea se menține.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.