MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Liniare
Fie vectorii u⃗=ai⃗+bj⃗\vec{u} = a\vec{i} + b\vec{j} și v⃗=ci⃗+dj⃗\vec{v} = c\vec{i} + d\vec{j}, cu a, b, c, d numere reale. Se știe că u⃗+v⃗=3i⃗−2j⃗\vec{u} + \vec{v} = 3\vec{i} - 2\vec{j}, u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 și ∣u⃗∣=∣v⃗∣|\vec{u}| = |\vec{v}|. Să se determine valorile lui a, b, c, d.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Din u⃗+v⃗=3i⃗−2j⃗\vec{u} + \vec{v} = 3\vec{i} - 2\vec{j}, avem a + c = 3 și b + d = -2.
22 puncte
Din u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0, avem ac + bd = 0.
32 puncte
Din ∣u⃗∣=∣v⃗∣|\vec{u}| = |\vec{v}|, avem a2+b2=c2+d2a^2 + b^2 = c^2 + d^2.
44 puncte
Rezolvăm sistemul: a + c = 3, b + d = -2, ac + bd = 0, a2+b2=c2+d2a^2 + b^2 = c^2 + d^2. Din primele două, c = 3 - a, d = -2 - b. Înlocuim în a treia: a(3-a) + b(-2-b) = 0 ⇒ 3a - a^2 - 2b - b^2 = 0 ⇒ a2+b2=3a−2ba^2 + b^2 = 3a - 2b. Din a patra, a2+b2=(3−a)2+(−2−b)2=9−6a+a2+4+4b+b2=a2+b2−6a+4b+13a^2 + b^2 = (3-a)^2 + (-2-b)^2 = 9 - 6a + a^2 + 4 + 4b + b^2 = a^2 + b^2 - 6a + 4b + 13. Simplificând, obținem -6a + 4b + 13 = 0 ⇒ 6a - 4b = 13. Combinând cu a2+b2=3a−2ba^2 + b^2 = 3a - 2b, rezolvăm: de exemplu, din 6a - 4b = 13, avem b = (6a - 13)/4. Înlocuim în a2+b2=3a−2ba^2 + b^2 = 3a - 2b și obținem o ecuație în a. Rezolvarea dă a=2, b=-1, c=1, d=-1 sau a=1, b=-1, c=2, d=-1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.