MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Discutați, în funcție de parametrul real kk, sistemul de ecuații liniare: {x+ky+z=0kx+y+z=0x+y+kz=0\begin{cases} x + ky + z = 0 \\ kx + y + z = 0 \\ x + y + kz = 0 \end{cases}. Determinați valorile lui kk pentru care sistemul admite soluții nenule și găsiți aceste soluții.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem matricea asociată sistemului: A=(1k1k1111k)A = \begin{pmatrix} 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix} și calculăm determinantul det⁡(A)=k3−3k+2\det(A) = k^3 - 3k + 2.
24 puncte
Rezolvăm ecuația det⁡(A)=0\det(A)=0 pentru a găsi valorile lui kk pentru care sistemul are soluții nenule. Obținem k3−3k+2=0k^3 - 3k + 2 = 0, cu rădăcinile k=1k=1 (dublă) și k=−2k=-2.
33 puncte
Pentru k=1k=1, sistemul devine {x+y+z=0x+y+z=0x+y+z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x + y + z = 0 \\ x + y + z = 0 \end{cases}, deci soluțiile sunt x=−y−zx = -y - z, cu y,z∈Ry,z \in \mathbb{R}. Pentru k=−2k=-2, sistemul este {x−2y+z=0−2x+y+z=0x+y−2z=0\begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ -2x + y + z = 0 \\ x + y - 2z = 0 \end{cases}, și prin rezolvare găsim x=y=zx=y=z, deci soluțiile sunt de forma (t,t,t)(t,t,t) cu t∈Rt \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.