MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicatăFuncția de gradul al II-lea
O companie produce un produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definiți funcția profitului. Venitul total este R(x)=x⋅p(x)=x(50−0.5x)=50x−0.5x2R(x) = x \cdot p(x) = x(50 - 0.5x) = 50x - 0.5x^2. Profitul este P(x)=R(x)−C(x)=(50x−0.5x2)−(0.1x3−3x2+30x+100)=−0.1x3+2.5x2+20x−100P(x) = R(x) - C(x) = (50x - 0.5x^2) - (0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100) = -0.1x^3 + 2.5x^2 + 20x - 100.
23 puncte
Calculați derivata funcției profitului: P′(x)=−0.3x2+5x+20P'(x) = -0.3x^2 + 5x + 20. Rezolvați ecuația P′(x)=0P'(x) = 0: −0.3x2+5x+20=0-0.3x^2 + 5x + 20 = 0 sau echivalent 3x2−50x−200=03x^2 - 50x - 200 = 0. Soluțiile sunt x=50±2500+24006=50±49006=50±706x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 + 2400}}{6} = \frac{50 \pm \sqrt{4900}}{6} = \frac{50 \pm 70}{6}, deci x1=20x_1 = 20 și x2=−103x_2 = -\frac{10}{3} (invalid, deoarece x≥0x \geq 0).
33 puncte
Verificați că x=20x = 20 este punct de maxim. Calculați derivata a doua: P′′(x)=−0.6x+5P''(x) = -0.6x + 5. Pentru x=20x = 20, P′′(20)=−0.6⋅20+5=−12+5=−7<0P''(20) = -0.6 \cdot 20 + 5 = -12 + 5 = -7 < 0, deci este maxim.
42 puncte
Calculați profitul maxim: P(20)=−0.1⋅203+2.5⋅202+20⋅20−100=−0.1⋅8000+2.5⋅400+400−100=−800+1000+400−100=500P(20) = -0.1 \cdot 20^3 + 2.5 \cdot 20^2 + 20 \cdot 20 - 100 = -0.1 \cdot 8000 + 2.5 \cdot 400 + 400 - 100 = -800 + 1000 + 400 - 100 = 500. Deci profitul maxim este 500.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.