MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicatăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
O cutie dreptunghiulară cu baza pătrată are volumul de 27 cm³. Materialul pentru bază costă 2 lei/cm², iar pentru fețele laterale costă 1 lei/cm². Determinați dimensiunile cutiei astfel încât costul total să fie minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm latura bazei cu xx și înălțimea cu hh. Din volum, x2h=27x^2 h = 27, deci h=27x2h = \frac{27}{x^2}.
23 puncte
Costul total C(x)=2⋅(x2)+1⋅(4xh)=2x2+4x⋅27x2=2x2+108xC(x) = 2 \cdot (x^2) + 1 \cdot (4xh) = 2x^2 + 4x \cdot \frac{27}{x^2} = 2x^2 + \frac{108}{x}.
33 puncte
Derivata C′(x)=4x−108x2C'(x) = 4x - \frac{108}{x^2}. Se rezolvă C′(x)=0C'(x)=0: 4x=108x2⇒x3=27⇒x=34x = \frac{108}{x^2} \Rightarrow x^3 = 27 \Rightarrow x=3.
42 puncte
Se verifică că x=3x=3 este punct de minim folosind semnul derivatei sau derivata a doua. Atunci h=2732=3h = \frac{27}{3^2} = 3. Dimensiunile optime: latură baza 3 cm, înălțime 3 cm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.