MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteLogaritmiEcuații logaritmice
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡xxf(x) = x + \frac{\ln x}{x}. Să se determine asimptotele funcției și punctul în care graficul funcției intersectează asimptota oblică.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea asimptotei verticale: la x=0x = 0, lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+(x+ln⁡xx)\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left( x + \frac{\ln x}{x} \right), unde ln⁡x→−∞\ln x \to -\infty și x→0+x \to 0^+, deci ln⁡xx→−∞\frac{\ln x}{x} \to -\infty și lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty, astfel x=0x = 0 este asimptotă verticală.
23 puncte
Determinarea asimptotei oblice: pentru x→∞x \to \infty, se calculează m=lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞x+ln⁡xxx=lim⁡x→∞(1+ln⁡xx2)=1m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{\ln x}{x}}{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\ln x}{x^2} \right) = 1, apoi n=lim⁡x→∞(f(x)−x)=lim⁡x→∞ln⁡xx=0n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0, deci asimptota oblică este y=xy = x.
33 puncte
Determinarea punctului de intersecție: se rezolvă ecuația f(x)=xf(x) = x, adică x+ln⁡xx=xx + \frac{\ln x}{x} = x, care se simplifică la ln⁡xx=0\frac{\ln x}{x} = 0. Aceasta implică ln⁡x=0\ln x = 0, deci x=1x = 1. Atunci f(1)=1+ln⁡11=1f(1) = 1 + \frac{\ln 1}{1} = 1, iar punctul de intersecție este (1,1)(1, 1).
42 puncte
Verificarea: punctul (1,1)(1,1) aparține atât graficului funcției, cât și asimptotei y=xy = x, confirmând intersecția.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.