MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+ax2+bx+1f(x)=x^3+ax^2+bx+1, cu a,b∈Ra,b\in\mathbb{R}. a) Determinați aa și bb știind că punctul A(1,2)A(1,2) este punct de inflexiune pentru graficul funcției ff și că ff este strict crescătoare pe R\mathbb{R}. b) Pentru valorile lui aa și bb găsite, calculați lim⁡x→0f(x)−1x\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Condiția ca A(1,2)A(1,2) să fie pe grafic: f(1)=2⇒1+a+b+1=2⇒a+b=0f(1)=2 \Rightarrow 1+a+b+1=2 \Rightarrow a+b=0.
23 puncte
Punct de inflexiune implică f′′(1)=0f''(1)=0. Se calculează f′(x)=3x2+2ax+bf'(x)=3x^2+2ax+b, f′′(x)=6x+2af''(x)=6x+2a. Atunci f′′(1)=6+2a=0⇒a=−3f''(1)=6+2a=0 \Rightarrow a=-3. Din a+b=0a+b=0 rezultă b=3b=3.
33 puncte
Condiția de monotonie strict crescătoare: f′(x)≥0f'(x)\geq 0 pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R} și f′f' nu se anulează pe un interval. Pentru a=−3a=-3, b=3b=3, avem f′(x)=3x2−6x+3=3(x−1)2≥0f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\geq 0. Derivata se anulează doar în x=1x=1, deci ff este strict crescătoare pe R\mathbb{R} (deoarece este crescătoare și derivata se anulează într-un singur punct).
42 puncte
Pentru a=−3a=-3, b=3b=3, f(x)=x3−3x2+3x+1f(x)=x^3-3x^2+3x+1. Calculăm limita: lim⁡x→0f(x)−1x=lim⁡x→0x3−3x2+3x+1−1x=lim⁡x→0(x2−3x+3)=3\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x^3-3x^2+3x+1-1}{x}=\lim_{x\to 0}(x^2-3x+3)=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.