MediuTeoria MulțimilorClasa 10

Problemă rezolvată de Teoria Mulțimilor

MediuTeoria MulțimilorEcuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Considerăm funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4f(x) = \sqrt{x^2 - 4}. Determinați mulțimea valorilor lui xx pentru care f(x)∈[1,∞)f(x) \in [1, \infty). Apoi, fie mulțimile M={x∈R∣f(x)<3}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) < 3 \} și N={x∈R∣x2−9≤0}N = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 9 \leq 0 \}. Calculați M∩NM \cap N și M∪NM \cup N.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se găsește domeniul lui ff: x2−4≥0⇒x∈(−∞,−2]∪[2,∞)x^2 - 4 \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty). Pentru f(x)≥1f(x) \geq 1: x2−4≥1⇒x2−4≥1⇒x2≥5⇒x∈(−∞,−5]∪[5,∞)\sqrt{x^2 - 4} \geq 1 \Rightarrow x^2 - 4 \geq 1 \Rightarrow x^2 \geq 5 \Rightarrow x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty). Combinând cu domeniul, mulțimea cerută este (−∞,−5]∪[5,∞)(-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty).\n
23 puncte
Se rezolvă f(x)<3f(x) < 3: x2−4<3⇒x2−4<9⇒x2<13⇒x∈(−13,13)\sqrt{x^2 - 4} < 3 \Rightarrow x^2 - 4 < 9 \Rightarrow x^2 < 13 \Rightarrow x \in (-\sqrt{13}, \sqrt{13}). Ținând cont de domeniu, M=(−13,−2]∪[2,13)M = (-\sqrt{13}, -2] \cup [2, \sqrt{13}).\n
32 puncte
Se rezolvă x2−9≤0⇒x∈[−3,3]x^2 - 9 \leq 0 \Rightarrow x \in [-3, 3], deci N=[−3,3]N = [-3, 3].\n
42 puncte
Se calculează M∩N=(M∩[−3,3])=[−3,−2]∪[2,13)M \cap N = (M \cap [-3,3]) = [-3, -2] \cup [2, \sqrt{13}) și M∪N=(−13,−2]∪[−3,3]=(−13,3]M \cup N = (-\sqrt{13}, -2] \cup [-3,3] = (-\sqrt{13}, 3].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Teoria Mulțimilor

Mediu#1Teoria MulțimilorLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. a) Arătați că ∘\circ este comutativă dar nu este asociativă. b) Rezolvați ecuația (x∘2)∘3=1(x \circ 2) \circ 3 = 1.
Ușor#2Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B.
Ușor#3Teoria MulțimilorEcuații logaritmice
Determinați mulțimea A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \}.
Ușor#4Teoria MulțimilorLogică matematică
Demonstrați că pentru orice mulțimi AA, BB și CC, avem A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Utilizați definițiile operațiilor cu mulțimi și proprietățile lor.
Vezi toate problemele de Teoria Mulțimilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.