MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați că pentru orice număr natural nn, ∑k=0n(nk)2=(2nn)\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}. Apoi, folosind această identitate, calculați ∑k=010(10k)2\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k}^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Enunțarea metodei de demonstrație: se consideră o mulțime cu 2n2n elemente și se numără submultimile cu nn elemente în două moduri, folosind o partiție.
24 puncte
Demonstrația: Fie AA și BB două mulțimi disjuncte, fiecare cu nn elemente. Numărul de submultimi cu nn elemente din A∪BA \cup B este (2nn)\binom{2n}{n}. Pe de altă parte, o astfel de submulțime conține kk elemente din AA și n−kn-k din BB, pentru kk de la 00 la nn, deci numărul este ∑k=0n(nk)⋅(nn−k)=∑k=0n(nk)2\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cdot \binom{n}{n-k} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2.
34 puncte
Calculul sumei pentru n=10n=10: ∑k=010(10k)2=(2010)=184756\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k}^2 = \binom{20}{10} = 184756.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.