MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră matricea A=(a111a111a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Determinați valorile lui aa pentru care determinantul matricei AA este egal cu zero. b) Pentru a=2a = 2, rezolvați sistemul Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}, unde b⃗=(123)\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Calculează determinantul matricei AA: det⁡(A)=a⋅∣a11a∣−1⋅∣111a∣+1⋅∣1a11∣=a(a2−1)−(a−1)+(1−a)=a3−a−a+1+1−a=a3−3a+2\det(A) = a \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = a(a^2 - 1) - (a - 1) + (1 - a) = a^3 - a - a + 1 + 1 - a = a^3 - 3a + 2. Rezolvă ecuația det⁡(A)=0\det(A) = 0: a3−3a+2=0a^3 - 3a + 2 = 0. Se observă că a=1a=1 este rădăcină; se factorizează: (a−1)(a2+a−2)=(a−1)2(a+2)=0(a-1)(a^2 + a - 2) = (a-1)^2(a+2) = 0, deci valorile sunt a=1a=1 sau a=−2a=-2.
25 puncte
Pentru a=2a = 2, matricea devine A=(211121112)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}. Calculăm det⁡(A)=23−3⋅2+2=8−6+2=4≠0\det(A) = 2^3 - 3 \cdot 2 + 2 = 8 - 6 + 2 = 4 \neq 0, deci sistemul are soluție unică. Folosim regula lui Cramer. Calculăm determinanții: Δ1=∣111221312∣=1⋅(4−1)−1⋅(4−3)+1⋅(2−6)=3−1−4=−2\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (4 - 1) - 1 \cdot (4 - 3) + 1 \cdot (2 - 6) = 3 - 1 - 4 = -2, Δ2=∣211121132∣=2⋅(4−3)−1⋅(2−1)+1⋅(3−2)=2−1+1=2\Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (4 - 3) - 1 \cdot (2 - 1) + 1 \cdot (3 - 2) = 2 - 1 + 1 = 2, Δ3=∣211122113∣=2⋅(6−2)−1⋅(3−2)+1⋅(2−2)=8−1+0=7\Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot (6 - 2) - 1 \cdot (3 - 2) + 1 \cdot (2 - 2) = 8 - 1 + 0 = 7. Atunci x1=Δ1det⁡(A)=−24=−12x_1 = \frac{\Delta_1}{\det(A)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, x2=Δ24=24=12x_2 = \frac{\Delta_2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, x3=Δ34=74x_3 = \frac{\Delta_3}{4} = \frac{7}{4}. Soluția este x⃗=(−121274)\vec{x} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{7}{4} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.