MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorDerivate
Pentru funcția f(x)=x2+1x−1f(x) = \frac{x^2 + 1}{x-1}, determinați asimptotele și studiați monotonia funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Domeniul de definiție: x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} deoarece numitorul nu poate fi zero.
24 puncte
Asimptote: Verticală: lim⁡x→1f(x)=∞\lim_{x \to 1} f(x) = \infty, deci x=1x=1 este asimptotă verticală. Oblică: calculăm m=lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞x2+1x(x−1)=1m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x(x-1)} = 1 și n=lim⁡x→∞(f(x)−x)=lim⁡x→∞(x2+1x−1−x)=lim⁡x→∞x2+1−x(x−1)x−1=lim⁡x→∞x+1x−1=1n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x-1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1 - x(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-1} = 1, deci asimptota oblică este y=x+1y = x + 1.
34 puncte
Derivata: f′(x)=2x(x−1)−(x2+1)⋅1(x−1)2=x2−2x−1(x−1)2f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+1)\cdot1}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}. Semnul derivatei: x2−2x−1=0⇒x=1±2x^2 - 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}. Pe intervalele (−∞,1−2)(-\infty, 1-\sqrt{2}) și (1+2,∞)(1+\sqrt{2}, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0 deci funcția este crescătoare; pe (1−2,1)(1-\sqrt{2}, 1) și (1,1+2)(1, 1+\sqrt{2}), f′(x)<0f'(x) < 0 deci funcția este descrescătoare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.