MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeȘiruri de numere reale
Folosind inducția matematică, demonstrați că pentru orice număr natural nn, are loc egalitatea ∑k=1n(2k−1)2=n(4n2−1)3\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}. Apoi, calculați suma ∑k=110(2k−1)2\sum_{k=1}^{10} (2k-1)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=1n=1: ∑k=11(2⋅1−1)2=12=1\sum_{k=1}^{1} (2\cdot1-1)^2 = 1^2 = 1 și 1(4⋅12−1)3=1(4−1)3=33=1\frac{1(4\cdot1^2 - 1)}{3} = \frac{1(4-1)}{3} = \frac{3}{3} = 1, deci egalitatea este adevărată.
22 puncte
Presupunem că egalitatea este adevărată pentru n=kn=k, adică ∑i=1k(2i−1)2=k(4k2−1)3\sum_{i=1}^{k} (2i-1)^2 = \frac{k(4k^2 - 1)}{3}.
34 puncte
Demonstrăm pentru n=k+1n=k+1: ∑i=1k+1(2i−1)2=∑i=1k(2i−1)2+(2(k+1)−1)2=k(4k2−1)3+(2k+1)2\sum_{i=1}^{k+1} (2i-1)^2 = \sum_{i=1}^{k} (2i-1)^2 + (2(k+1)-1)^2 = \frac{k(4k^2 - 1)}{3} + (2k+1)^2. Calculăm (2k+1)2=4k2+4k+1(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1. Apoi, k(4k2−1)3+4k2+4k+1=k(4k2−1)+3(4k2+4k+1)3=4k3−k+12k2+12k+33=4k3+12k2+11k+33\frac{k(4k^2 - 1)}{3} + 4k^2 + 4k + 1 = \frac{k(4k^2 - 1) + 3(4k^2 + 4k + 1)}{3} = \frac{4k^3 - k + 12k^2 + 12k + 3}{3} = \frac{4k^3 + 12k^2 + 11k + 3}{3}. Verificăm că acesta este egal cu (k+1)(4(k+1)2−1)3=(k+1)(4k2+8k+3)3=4k3+12k2+11k+33\frac{(k+1)(4(k+1)^2 - 1)}{3} = \frac{(k+1)(4k^2+8k+3)}{3} = \frac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}, deci egal.
41 punct
Prin inducție matematică, egalitatea este adevărată pentru orice nn natural.
51 punct
Calculul sumei pentru n=10n=10: ∑k=110(2k−1)2=10(4⋅102−1)3=10⋅3993=1330\sum_{k=1}^{10} (2k-1)^2 = \frac{10(4\cdot10^2 - 1)}{3} = \frac{10\cdot399}{3} = 1330.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.