MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiIdentități algebrice
Demonstrați identitatea ∣abcbcacab∣=(a+b+c)(ab+ac+bc−a2−b2−c2)\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = (a+b+c)(ab+ac+bc - a^2 - b^2 - c^2). Apoi, pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, calculați valoarea determinantului.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
16 puncte
Se calculează determinantul: ∣abcbcacab∣=a∣caab∣−b∣bacb∣+c∣bcca∣=a(cb−a2)−b(b2−ac)+c(ab−c2)=abc−a3−b3+abc+abc−c3=3abc−a3−b3−c3\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} c & a \\ a & b \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} b & a \\ c & b \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} b & c \\ c & a \end{vmatrix} = a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = 3abc - a^3 - b^3 - c^3. Se observă că (a+b+c)(ab+ac+bc−a2−b2−c2)=(a+b+c)(ab+ac+bc)−(a+b+c)(a2+b2+c2)(a+b+c)(ab+ac+bc - a^2 - b^2 - c^2) = (a+b+c)(ab+ac+bc) - (a+b+c)(a^2+b^2+c^2). Dezvoltând: a2b+a2c+ab2+ac2+b2c+bc2+3abc−a3−ab2−ac2−b3−a2b−bc2−c3−a2c−b2c=3abc−a3−b3−c3a^2 b + a^2 c + a b^2 + a c^2 + b^2 c + b c^2 + 3abc - a^3 - a b^2 - a c^2 - b^3 - a^2 b - b c^2 - c^3 - a^2 c - b^2 c = 3abc - a^3 - b^3 - c^3. Astfel, identitatea este demonstrată.
24 puncte
Pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, se calculează (a+b+c)=6(a+b+c) = 6 și ab+ac+bc−a2−b2−c2=2+3+6−1−4−9=11−14=−3ab+ac+bc - a^2 - b^2 - c^2 = 2+3+6 - 1-4-9 = 11-14 = -3. Deci determinantul este 6×(−3)=−186 \times (-3) = -18. Alternativ, direct din expresia 3abc−a3−b3−c3=3×1×2×3−1−8−27=18−36=−183abc - a^3 - b^3 - c^3 = 3 \times 1 \times 2 \times 3 - 1 - 8 - 27 = 18 - 36 = -18.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.